数学趣话一

1. 前言

读过不少数学趣闻, 未成体系, 记录下来仅供娱乐

2. 秒差距(Parsec,pc)

和光年一样, 是一种长度单位, 不过更大, 1pc=3.26ly, 天文学这些单位也是奇怪。Wiki

<!--more-->

3. 不老蠕虫爬长绳

假设一条蠕虫，以1cm/s的速度在一根长1m的橡皮绳上从一端爬向另一端。每当蠕虫爬完1cm，橡皮绳就瞬间伸长1m。 如果橡皮绳可以无限伸长，蠕虫也“长生不老”，试问：蠕虫能爬到绳子的另一端吗？ 乍一想，这蠕虫似乎永远也爬不到绳子的另一端，因为橡皮绳增长的速度远大于蠕虫爬行的速度。不过我们还是先别下结论，算算再说。 首先，橡皮绳每秒钟伸长1m，这种伸长是均匀的，而绳子伸长时，虫子爬过的那段也随之伸长。这样： 第一秒末，绳子长1m，蠕虫爬1cm即绳长的1/100 第一秒末，绳子长2m，蠕虫在这一秒又爬1cm即绳长的1/200，当然此时第一秒蠕虫爬的长度也随之变长，而且它所占绳子的比例1/100不变 ...... 类似，蠕虫在第n秒爬了绳子长度的1/(100n) 于是，前n秒内蠕虫总共爬了绳子长的

$$\frac{1}{100}+\frac{1}{200}+\cdots+\frac{1}{100n}=\frac{1}{100}(1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n})$$

显然，如果蠕虫爬的长度$l_n \geq 1$，那就说明蠕虫已经爬到了绳子的另一端。由于调和级数是发散的，所以其大于100是有可能的。 一位学者经过计算，得到n在$2^{143}\sim 2^{144}$秒之间的结果，当然这是个天文数字，但蠕虫是“长生不老”的 另一位学者将调和级数变成：

$$\begin{equation} \begin{split} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{2^k} &= (1+\frac{1}{2})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{4})+(\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8})+\cdots+(\frac{1}{2^{k-1}+1}+\frac{1}{2^{k-1}+2}+\cdots+\frac{1}{2^k}) \\ &> (1+\frac{1}{2}) + (\frac{1}{4}+\frac{1}{4}) + (\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}) + \cdots + \left(\frac{1}{2^k}+\frac{1}{2^k}+\cdots+\frac{1}{2^k}\right) \\ &= 1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2}\right) \end{split} \nonumber \end{equation}$$

4. 超越数(Transcendental number)

Wiki In mathematics, a transcendental number is a real or complex number that is not algebraic—that is, it is not a root of a non-zero polynomial equation with rational coefficients.

5. 正态数(Normal number)

Wiki

6. 交错级数的悖论

研究交错级数$\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}a_i$中的

$$\begin{equation} 1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+\cdots=? \tag{6.1} \end{equation}$$

正确答案不难找到：结果是$\ln 2$ 把$1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7-1/8+\cdots=\ln 2$两边乘以1/2，就得到

$$\begin{equation} 1/2-1/4+1/6-1/8+1/10-1/12+1/14-1/16+\cdots=(\ln 2)/2 \tag{6.2} \end{equation}$$

把6.1和6.2两边分别相加就得到

$$\begin{equation} 1/1+1/3-1/2+1/5+1/7-1/4+1/9+1/11-1/6+\cdots=3(\ln 2)/2 \tag{6.3} \end{equation}$$

可以看到6.3和6.1左边完全一样，只是排列顺序不同，然而6.3的值却是6.1的3/2倍，这样我们会得出3/2=1的结论 显然这是一个悖论，对此，美籍德国数学家柯朗在他的微积分学论文中写到：“很容易想象出，这种明显的悖论发现对18世纪的数学家带来什么样的影响，他们习惯于运算无穷级数而不考虑它们的收敛。” 出现这种悖论现象的原因是：级数$1-1/2+1/3-1/4+\cdots$之所以收敛，只是因为它的项有交替变化的正负号，因此可以部分地相互“补偿”。但是如果我们取这些项的绝对值的时候，将会得到发散的调和级数。 这是两类收敛收敛级数之间的一个主要区别：收敛过程与各项的正负号无关的级数——绝对收敛级数，以及收敛仅仅是因为各项的正负号交替变化的级数——条件收敛级数。 正是前一类级数代表了收敛的较强类型，因为在这里之所以发生收敛，是因为它的自身可足够快地逼近零。 微积分学已经证明，如果级数$\sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i+1}a_i$满足条件$a_n>a_{n+1}$和$\lim\limits_{n\rightarrow \infty}a_n=0$，那么这个级数收敛。这就是著名的莱布尼茨判别法。 只有在绝对收敛级数中，各项的任意重排才不会影响它的和。这就是著名的狄利克雷定理。

7. 素数定理

Primzahlen unter a(=∞) a/ln(a) 当a趋近于无穷大时, 小于a的素数个数越来越接近于a除以ln(a)的值

8. 1+1=2

罗素和怀特海德(Bertrand Russell and Alfred North Whitehead), 在数学原理(Principia_Mathematica)一书中, 证明了为何1+1=2

9. 欧拉zeta(ζ)函数

本质是整数级数到素数级数的一种等价方法 $\zeta$函数可以表示成将所有整数加起来恰好等于包含所有素数的项相乘所得的另一个函数 $\zeta(s)=\sum \frac{1}{n^2}=\prod \frac{p^s}{p^s-1}$ 假设s=2，则

$$\begin{equation} \begin{split} \zeta(s)&=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots \\ &=\frac{2^2}{2^2-1}\times\frac{3^2}{3^2-1}\times\frac{5^2}{5^2-1}\times\frac{7^2}{7^2-1}\times\cdots \end{split} \nonumber \end{equation}$$

10. 整数N的拆分方式种数

1 = 1 p(1) = 1 2 = 2 = 1+1 p(2) = 2 3 = 3 = 1+2 = 1+1+1 p(3) = 3 对于整数n, p(n) = ?, 哈代(Godfrey Harold)和拉马努金(Srinivasa Ramanujan)在某论文中得出了其公式:

$$\frac{1}{2\sqrt{2}}\sum_{q=1}^{\nu} \sqrt{q}A_q(n)\varphi_q(n)$$

其中$A_q(n)=\sum\omega_{p,q}\exp(-2np\pi i/q)$，和是对p来求的，p与q互素且小于q，$\omega_{p,q}$是1的某个24q次方根，$\nu$具有$\sqrt{n}$的阶数

$$\varphi_q(n)=\frac{d}{dn}\left(\exp\left(C\sqrt{n-\frac{1}{24}}/q\right)\right),C=\pi \sqrt{\frac{2}{3}}$$

关于1的n次方根其实是有n个不同的值的, 这个需要考虑到复数

11. 黎曼zeta(ζ)函数

用复数代替欧拉$\zeta$函数中的指数s, 即可得到黎曼$\zeta$函数:

$$\zeta(s)=\sum\frac{1}{n^s}=1+\frac{1}{2^{(a+ib)}}+\frac{1}{3^{(a+ib)}}+\frac{1}{4^{(a+ib)}}+\cdots$$

对于某些s, 该函数值为0, 如s = 1/2 + 14.135i, 1/2 + 21.022i

12. 100%不是全部

正如0%不是没有, 有理数占实数比重可以说是 0%, 但是你不能够说没有有理数。 所以即时1985年证明了费马大定理对于100%的指数都成立, 但是不能说对于所有的指数

13. 复数的对数没有确定的值

思考一下欧拉公式, 很容易得出结论